中小学个性化辅导
关于我们  |  联系我们
2018期中考

【什么是卡拉比猜想-图】百科知识点

来源:学大教育     时间:2017-12-08 11:31:57


在数学学科发展的过程中一些数学家提出了一些猜想,这些猜想十分值得大家认真了解,为此下面学大教育网为大家带来【什么是卡拉比猜想-图】百科知识点,希望大家能了解好这些数学猜想。

【什么是卡拉比猜想-图】百科知识点

卡拉比猜想源于代数几何,是由意大利著名几何学家卡拉比在1954年国际数学家大会上提出的:在封闭的空间,有无可能存在没有物质分布的引力场。卡拉比认为是存在的,可是没有人能证实,包括卡拉比自己。 这个猜想的陈类为负和零的情况被美籍华裔数学家丘成桐证明,并因此在1982年获得数学界的“诺贝尔奖”——菲尔兹奖,是第一个获得该奖的华人数学家。

20世纪50年代是几何与拓扑学最辉煌的时代。一批年轻的数学家证明了一系列伟大的数学定理,开天辟地,创造了一个崭新的时代。他们与他们的定理一起,熠熠生辉,照亮了整个数学的历史。

1941年的霍奇(Hodge)理论刚刚由魏尔(Weyl)和小平邦彦(Kodaira)整理完成。1945年陈省身引进的陈示性类由希策布鲁赫(Hirzebruch)发扬光大,证明了拓扑中的符号差定理与代数几何中的Hirzebruch-Riemann-Roch定理。工程师出身的博特(Bott)证明了他不朽的同伦群周期性定理。这些结果很快激发出了Atiyah-Singer指标定理。塞尔(Serre)用勒雷(Leray)的谱序列计算了代数拓扑中球面的同伦群,用层论写下了代数几何名篇GAGA,将复分析系统地引入代数几何。Kodaira证明了他著名的嵌入定理,发展了复流形的形变理论。稍后,米尔诺(Milnor)发现了七维怪球,纳什(Nash)证明了黎曼(Riemann)流形的嵌入定理。这些伟大的数学家与他们的定理,如繁星闪耀在天空,令人目不暇接。

1954年的国际数学家大会,菲尔兹(Fields)奖的获奖者是小平邦彦(Kodaira)和塞尔(Serre),他们的主要获奖工作都是将复分析、微分几何与代数几何完美地结合在一起。正如外尔(Weyl)在他的颁奖词中所说:“他们的成就远远超越了他年轻时的梦想,他们的成就代表着数学一个新时代的到来。

也是在这届数学家大会上,31岁的意大利裔数学家卡拉比,在会议的邀请报告中用一页纸写下了他著名的猜想:令M为紧致的卡勒(Kahler)流形,那么对其第一陈类中的任何一个(1,1)形式R,都存在唯一的一个卡勒度量,其Ricci形式恰好是R。卡拉比还粗略地描述了一个他的猜想的证明方案,并证明了,如果解存在,那必是唯一的。

但3年后,在1957年的一篇关于Calabi-Yau流形的几何结构的文章中,他意识到这个证明根本行不通。这里需要求解一个极为艰深而复杂的偏微分方程,叫作复的Monge-Ampere方程。他去请教20世纪最伟大的数学家之一的魏尔(Andre Weil)教授。魏尔说:“当时还没有足够的数学理论来攻克它。”

众所周知,庞加莱(Poincare)著名的单值化定理告诉我们,一维复流形的万有覆盖只有简单的三种,球面、复平面和单位圆盘。如何将单值化定理推广到高维流形,这个问题几乎主导了现代几何与拓扑的发展。而即使从复一维到复二维流形,问题的复杂性已经远超想象,被数学家称作是从天堂到了地狱。或者说是上帝创造了黎曼面,简单美丽而又丰富多彩,是魔鬼制造了复曲面,内容复杂,令人眼花缭乱,头晕目眩。卡拉比猜想可以认为是单值化定理在高维不可思议的大胆推广,竟然给出了高维复流形中难得一见的一般规律。特别的是它在复卡勒流形的第一陈类大于零、等于零和小于零三个情形,指出了Kahler-Einstein度量的存在性,即此度量的第一陈形式等于其卡勒形式。这恰好对应于黎曼面三种单值化的推广。

要知道,当时人们知道的爱因斯坦流形的例子都是局部齐性的,甚至都不知道复投影空间中的超曲面,如K3曲面上,是否有爱因斯坦度量。在这样一种情况下,卡拉比竟然做出如此大胆的猜测,可见其胆识过人,也难怪此后多数几何学家都怀疑此猜想的正确性,许多人都在努力寻找反例,而不是证明它。正如庞加莱的单值化定理,霍奇定理需要经过数年,乃至数十年努力才得到完美的证明一样,卡拉比猜想也在数学界的期盼中,等待着它真正的王者到来,这一等就是21年。

【什么是卡拉比猜想-图】百科知识点大家已经阅读过了,学大教育网将为大家带来更多的数学百科知识,希望大家能记忆好这些内容。

网站地图 | 全国免费咨询热线: | 服务时间:8:00-23:00(节假日不休)

京ICP备10045583号-6 学大Xueda.com 版权所有 北京学大信息技术有限公司 京公网安备 11010502031324号

增值电信业务经营许可证京B2-20100091 电信与信息服务业务经营许可证京ICP证100956